A LINGUAGEM DOS NÚMEROS PRIMOS: UMA ABORDAGEM EPISTEMOLÓGICA SOBRE A CONJECTURA DE GOLDBACH

Resumen

Sería imposible decir que la suma de dos números primos se corresponde con un número par, lo cual se extendió a todos los números hasta el infinito premisa? Esta es la síntesis de la conjetura de Goldbach, que se conserva como cuestión matemática indemostrable desde 1742 hasta ahora. Como se ha señalado, no siempre los patrones matemáticos son tan difíciles. En este sentido, este documento propone que se organicen en una breve epistemológico atrapado en esta conjetura y, finalmente, exponer las consideraciones que puedan tratar de explicar las posibles barreras al descubrimiento de un teorema principio o general que satisface la Conjetura de Goldbach.

Palabras clave: Números primos – Conjetura de Goldbach.

Resumo

Seria impossível afirmar que a soma de dois números primos corresponde a um numero par, sendo tal premissa estendida a todos os números pares até o infinito? Essa é a síntese da Conjectura de Goldbach, que conservar-se como questão matemática indemonstrável desde 1742 até o presente momento. Como se nota, nem sempre os padrões matemáticos são tão rígidos. Neste sentido, o presente artigo se propõe a constituir-se em um breve apanhado epistemológico sobre tal conjectura e por fim expor considerações capazes de tentar explicar os possíveis entraves para descoberta de um principio ou teorema geral que satisfaça a Conjectura de Goldbach.

Palavras-chave: Números Primos – Conjectura de Goldbach

Abstract

It would be impossible to say that the sum of two primes corresponds to an even number, this being extended to all even numbers to infinity premise? This is the synthesis of Goldbach’s conjecture, which is conserved as unprovable mathematical question since 1742 until now. As noted, not always the mathematical patterns are so hard. In this sense, this paper proposes to form themselves into a brief epistemological caught on this conjecture and finally expose considerations able to try to explain the possible barriers to discovery of a principle or general theorem that satisfies the Goldbach Conjecture.

Key Words: Prime Numbers – Goldbach Conjecture

1. INTRODUÇÃO

A matemática, a principio, possui um padrão complexo. Ela é lógica, impositiva e absoluta, onde três mais dois implica em cinco e nem conseguiremos idealizar que tal implicação seja de forma diferente. A ordem é imperativa neste ramo do conhecimento. 3 + 2 = 5 e ponto! Mas seria sempre assim? Até que ponto a matemática nos induz a uma plenitude rígida e inflexível? Até que ponto observaremos no seio da mesma apenas ordem e não o caos? Seria a mesma capaz de comporta-se com tamanha rigidez e inflexibilidade em todos os cenários observáveis no campo dos números?

Observe. Seria impossível afirmar que a soma de dois números primos corresponde a um numero par, sendo tal premissa estendida a todos os números pares até o infinito? Essa é a síntese da Conjectura de Goldbach, que conservar-se como questão matemática indemonstrável desde 1742 até o presente momento. Como se nota, nem sempre os padrões matemáticos são tão rígidos. Neste sentido, o presente artigo se propõe a constituir-se em um breve apanhado epistemológico sobre tal conjectura e por fim expor considerações capazes de tentar explicar os possíveis entraves para descoberta de um principio ou teorema geral que satisfaça a Conjectura de Goldbach.

2. QUEM FOI GOLDBACH?

Nascido na cidade de Königsberg, antigo reino da Prússia (hoje dissolvido), situado no norte da Alemanha, Christian Goldbach (1690 – 1764) foi um notável matemático filho de uma família protestante. Ao longo de sua vida, teve a oportunidade de conhecer inúmeros matemáticos renomados de sua época como Leonhard Euler (1707 – 1783), Nicolau I. Bernoulli (1695 – 1726) e Leibniz (1646 – 1716). Após sucessivas viagens, Goldbach deu inicio a atividade docente na Academia das Ciências de São Petersburgo, Rússia. Tornou-se uma figura notável, principalmente, por seus postulados sobre, teoria das equações, teoria das curvas e somas infinitas (FILHO, 2013).

A partir de uma carta remetida ao matemático Leonhard Euler, em 1742, Goldbach deu-se origem a um inédito e sensacional problema relacionado à Teoria dos Números, que passou a ser conhecido na literatura matemática como A Conjectura de Goldbach. O cerne deste problema permanece sem solução até os dias atuais, e tornou-se um dos mais interessantes desafios dos matemáticos da contemporaneidade.

3. O DEBATE COM EULER

Datada de 7 de julho de 1742, a Carta XLIII lavrada por Goldbach e enviada a Euler trazia para seara matemática o seguinte problema: “qualquer número inteiro maior do que seis parecia ser a soma de três números primos”.

Em resposta, Euler inferiu que na possibilidade desta alegação ser verdadeira, poder-se-ia decompô-la em duas outras assertivas: “todo o número par, maior que dois, é a soma de dois primos”; e “todo o número ímpar é a soma de três primos”. Por ironia, não foi Goldbach, mas sim Euler quem batizou a primeira assertiva de Conjectura Goldbach, em respeito ao colega (FCUL, 2004).

4. A SISTEMATIZAÇÃO DO PROBLEMA

Por definição dizemos que uma conjectura matemática é uma proposição que tem sua credibilidade residente no fato de muitos matemáticos tomarem-na como verdadeira a partir de sucessivas experimentações, porém, ainda sem condições de prová-la enquanto verdade a partir de um teorema ou principio geral. Este é o caso da Conjectura de Goldbach que consiste no fato de todo número par maior que 2 poder ser expressado como a soma de dois números primos. Vejamos alguns casos:

 

4 = 2 + 2

6 = 3 + 3

8 = 3 + 5

10 = 5 + 5

12 = 5 + 7

14 = 7 + 7

16 = 5 + 11

18 = 7 + 11

20 = 7 + 13

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De fato, para muitos números pares verificados até a atualidade, os cálculos de decomposição foram efetuados, e sempre se constatou dois números primos que a satisfizessem a Conjectura de Goldbach. Vejamos uma sequencia cronológicas de esforços matemáticos de verificação experimental da conjectura: Em 1894 Georg Cantor desenvolveu todas as decomposições possíveis de todos os números pares menores que 1000, sempre através da soma de dois números primos; A. Aubry ampliou estas decomposições para valores pares até 2000. Em 1897, R. Haussner, expandiu esta lista para valores pares até 5000 (HEATH-BROWN, 1985).

4. AS TENTATIVAS DE DEMOSTRAÇÕES

É fato que ainda não há demonstração para a assertiva de Goldbach, porém, já existem significativos resultados neste sentido. O matemático russo Lev Genrikhovich Shnirelman, que em 1930 conseguiu provar que todo número natural pode ser expresso como sendo a soma de até 20 números primos. Outro matemático russo, Ivan Matveyevich Vinogradov, que em 1937 conseguiu provar que todo número ímpar suficientemente grande pode ser representado como sendo soma de até 3 números primos. É fundamental notar que quando Vinogradov utiliza a expressão “suficientemente grande”, o mesmo refere-se a todo número ímpar maior que um certo número (que ele não define) tem a característica em questão. Isso quer dizer que não conhecemos a partir de que número a conclusão de Vinogradov é valida, mas ainda assim o resultado é relevante, pois nos permite convir que esta propriedade só não se aplica para uma quantidade finita de números ímpares. Outra figura importante no campo das demonstrações foi o matemático chinês Chen Jing Run, que em 1973 pontificou que, todo número par suficientemente grande corresponde a soma de um número primo com outro número que pode ser obtido através do produto de no máximo dois primos. Para este resultado tome de forma análoga o mesmo entendimento discorrido anteriormente para a expressão “suficientemente grande” (LIU & WANG, 2002).

A contribuição mais recente ocorreu em maio de 2013, onde o peruano Harald Andrés Helfgott, matemático do Centro Nacional para a Pesquisa Científica de Paris, tornou publico o trabalho acadêmico intitulado Major Arcs for Goldbach’s Problem, onde apresenta aperfeiçoamentos nas estimações dos arcos maiores e menores, o suficiente para provar definitivamente a segunda assertiva desenvolvida por Euler em 1742, a partir da Carta XLIII, que consiste no fato de “todo o número ímpar ser a soma de três primos”.

5. AS DEMONSTRAÇÕES E O CONHECIMENTO MATEMATICO

O que seria do conhecimento matemático se um software ou uma linguagem de programação qualquer tivessem a capacidade de verificar com plena exatidão se uma dada conjectura é verdadeira ou não? Seria o fim a busca por uma demonstração algébrica de tal conjectura?

Sob tal problemática faz-se imperioso recorrer às reflexões de Rav (2000), in verbs:

Reparem no tesouro produzido pelas tentativas de demonstração da conjectura de Goldbach, e vejam como é tão pouco significativa, comparativamente, a questão da descoberta do seu valor lógico absoluto!…

Suponhamos que um dia alguém aparece com um contra-exemplo para a conjectura de Goldbach, ou com uma demonstração de que existem números pares que não se podem representar como soma de dois primos. Será que isso tornaria falsas ou tiraria algum valor a todas as teorias magníficas, conceitos e técnicas que foram desenvolvidos para demonstrar a conjectura que estamos agora a supor que é incorrecta? Nada disso. Uma demonstração da falsidade da conjectura de Goldbach apenas serviria como catalizador de novos desenvolvimentos, sem nenhum efeito nos métodos desenvolvidos até aqui na tentativa de demonstrar a conjectura. Porque começaríamos imediatamente a colocar novas questões, como por exemplo acerca da quantidade de números pares ‘não-goldbachianos’: serão em número finito? infinitos?… Novos tesouros viriam juntar-se aos primeiros, a par deles e não em vez deles – e é assim o percurso das demonstrações em matemática!

(RAV, 2000 apud VILLIERS, 2002, p. 01).

 

Nesta mesma trajetória de raciocínio, o matemático Rota (1997) inferiu, quando da demonstração do Último Teorema de Fermat, que a importância da demonstração vai muito mais além que o da inócua constatação de um resultado. Ele afirmar que:

O valor real do que Wiles e os seus colaboradores fizeram é muito maior do que a mera demonstração de uma conjectura excêntrica. A importância da demonstração do último teorema de Fermat reside na abertura de novas possibilidades para a matemática. … O valor da demonstração de Wiles não está naquilo que demonstra, mas naquilo que torna acessível, no que possibilita. (ROTA, 1997, p.190).

Como se infere, as demonstrações são parte fundamental do conhecimento matemático, e sua importância está muito além da simples constatação de resultados. Em que pese as ferramentas computacionais nos possibilitarem ter convicções por meio das medições empíricas e visualizações, as demonstrações ainda são de fundamental importância para assimilação do conhecimento matemático.

6. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Os números primos continuamente possuem a capacidade de maravilhar o ser humano em face de suas características enigmáticas. A partir de seu simples conceito podemos auferir resultados fascinantes, como por exemplo, a existência de infinitos números primos e o Teorema Fundamental da Aritmética.  Neste sentido, é fato o muito que desconhecemos acerca dos números primos, e a Conjectura de Goldbach é uma prova desta realidade. Via de regra, poderemos presumir que um dos obstáculos para se inferir uma resolução para a Conjectura, seria o fato de não se poder resolver com dados finitos questões relativas ao infinito. Parafraseando Domingos (2009), “uma manada de bovinos de cor branca não prova a cor de todos os bovinos existentes no campo”.

Entretanto cabe ressaltar e cristalizar os tesouros e riquezas de conhecimentos matemáticos produzidos ao longo das diversas tentativas de demonstração da desta conjectura. Estes sim tornam gratificante a busca incessante pelo prova ou refutação de tal conjectura ao longo destes 272 anos de problematizações. 

7. REFERENCIAS

BERLINSKI, D. O Advento do Algoritmo: a ideia que governa o mundo - Tradução de Leila Ferreira de Souza Mendes – Editora Globo – São Paulo – SP – 2002.

CHEN, J. R. & WANG, T. Z. On the Goldbach problem. Acta Math. Sinica, 1989.

DOMINGOS, C. L. Confirmação da conjectura de Goldbach. In: Aldeia Numaboa/Laboratórios. Brasil, 2009.

FCUL. Grandes problemas da filosofia da matemática. In: Seminário Temático – Licenciatura em Ensino da matemática da FCUL. Opção do 4º ano. Lisboa-Portugal, 2004.

FILHO, D. C. M. A conjectura de Goldbach e mais uma tentativa de demonstrá-la. In: Programa de Educação Tutorial. Centro de Ciências e Tecnologia/UFCG – 2013.

GOMES, A. M. D. A conjectura de Goldbach: Matemática – Números e Operações. In: Grandes Temas e Problemas da Matemática – Atividades de Áudio. UFF – Rio de Janeiro/RJ, 2013.

HEATH-BROWN, D. R. The ternary Goldbach problem. Rev. Mat. Iberoamericana, 1985.

HELFGOTT, H. A. Major Arcs for Goldbach’s Problem. In: CNRS. Paris-França, 2013.

LIU M.-Ch. & WANG, T. Z. On the Vinogradov bound in the three primes Goldbach conjecture. Acta Arith, 2002.

ROTA, G. C. The Phenomenology of Mathematical Beauty. Synthese. 1997

SAUTOY, M. A Música dos Números Primos. A história de um problema não resolvido na matemática - Tradução de Diego Alfaro. Jorge Zahar Editor – Rio de Janeiro – RJ – 2007.

VILLIERS, M. Para uma Compreensão dos Diferentes Papéis da Demonstração em Geometria Dinâmica. In: University of Durban-Westville. 2002.

Para citar este artículo puede utilizar el siguiente formato:
Santos Chaves, Marcelo: "A linguagem dos números primos: uma abordagem epistemológica sobre a conjectura de Goldbach" en Atlante. Cuadernos de Educación y Desarrollo, marzo 2014, en http://atlante.eumed.net/linguagem-numeros-primos/

Atlante. Cuadernos de Educación y Desarrollo es una revista académica, editada y mantenida por el Grupo eumednet de la Universidad de Málaga.